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Il mwcatriangolo è un mwcqpoligono con tre lati e tre angoli. Ciò lo rende il poligono con il minore numero di lati che si possa costruire. Più formalmente, dati tre punti distinti e non allineati mwcg A {\displaystyle A} , mwcw B {\displaystyle B} e mwda C {\displaystyle C} nel piano, il triangolo mwdq A B C {\displaystyle ABC} è l'unione dei segmenti mwdg A B ¯ ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} , mwdw B C ¯ ¯ {\displaystyle {\overline {BC}}} e mwea C A ¯ ¯ {\displaystyle {\overline {CA}}} . Anche se nella definizione di Euclide, e nella geometria euclidea classica, viene considerata parte del triangolo anche l'area all' interno ad esso.

• Caratteristiche del triangolo

• Classificazione dei triangoli

• Triangoli degeneri e triangoli ideali

• Punti notevoli

• Formulario

• Formule trigonometriche

• Formule analitiche

• Geometrie non euclidee

• Teoremi sui triangoli

• Note

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Il triangolo è caratterizzato dalle seguenti proprietà:

1. è una "figura indeformabile", dato che, assegnate le lunghezze dei lati, sono univocamente determinati anche gli angoli; ciò non è vero in generale per poligoni con un numero maggiore di lati;

2. è l'unico poligono che non può essere mwgwconcavo;

3. è l'unico poligono per cui non è richiesto che sia mwhqregolare perché sia sempre possibile mwhgcircoscrivere e inscrivere una mwhwcirconferenza, perché per tre punti passa sempre una e una sola circonferenza;

4. la somma degli angoli interni è uguale a un mwiqangolo piatto, ossia 180°; va comunque precisato che tale uguaglianza vale soltanto nella mwiggeometria euclidea e non in altri tipi di geometria come la mwiwgeometria sferica e quella mwjaiperbolica, dove invece tale somma è, rispettivamente, maggiore e minore di 180°;

5. la somma di due lati deve essere sempre maggiore del terzo lato o la differenza di due lati deve essere sempre minore del terzo lato.

Due triangoli sono mwjwcongruenti se soddisfano almeno uno dei mwkacriteri di congruenza. Due triangoli si dicono mwkqsimili se soddisfano almeno uno dei mwkgcriteri di similitudine.

I triangoli possono essere classificati in base alla lunghezza relativa dei lati:

• In un mwlwmwmatriangolo equilatero tutti i lati hanno lunghezza uguale. Un triangolo equilatero si può definire equivalentemente come triangolo equiangolo, ovvero triangolo avente i suoi angoli interni di uguale ampiezza, pari a 60°.

• In un mwmgmwmwtriangolo isoscele due lati hanno lunghezza uguale. Un triangolo isoscele si può definire equivalentemente come triangolo avente due angoli interni di uguale ampiezza.

• In un mwnqmwngtriangolo scaleno tutti i lati hanno lunghezze differenti. Un triangolo scaleno si può definire equivalentemente come triangolo avente i tre angoli interni di diverse ampiezze cite-ref-1[1].

I triangoli possono essere classificati anche in base alle dimensioni del loro angolo interno più ampio; sono descritti di seguito usando i gradi d'arco.

• Un mwuqmwugtriangolo rettangolo (o mwuwtriangolo retto) ha un angolo interno di 90°, cioè un mwvaangolo retto. Il lato opposto all'angolo retto è detto mwvqmwvgipotenusa; è il lato più lungo del mwvwtriangolo rettangolo. Gli altri due lati del triangolo sono detti mwwamwwqcateti. Per questo triangolo vale il mwwgteorema di Pitagora.

• Un mwxamwxqtriangolo ottusangolo (o mwxgtriangolo ottuso) ha un angolo interno maggiore di 90°, cioè un mwxwangolo ottuso.

• Un mwyqmwygtriangolo acutangolo (o mwywtriangolo acuto) ha tutti gli angoli interni minori di 90°, cioè ha tre mwzaangoli acuti.

• Un mwzgmwzwtriangolo equiangolo, cioè se ha tutti gli angoli interni uguali, cioè di 60°, cioè se e solo se è un mwaamwaqtriangolo equilatero.

Per i triangoli che non sono rettangoli vale una generalizzazione del mwawteorema di Pitagora nota in trigonometria come mwbateorema di Carnot.

triangolo-degenere Si dice mwggtriangolo degenere un triangolo che presenta un angolo di 180°. Gli altri due angoli hanno necessariamente ampiezza zero, e un lato misura quanto la somma degli altri due: tale triangolo, come insieme di punti (graficamente), costituisce un mwgwsegmento.

Si usa il termine mwhqtriangolo degenere anche per una figura ottenuta come limite di un triangolo nel quale alcuni dei suoi vertici vanno all'infinito; tale figura si chiama anche mwhgtriangolo ideale. Questa costruzione è molto usata in mwhwgeometria iperbolica.

Un triangolo ideale con un vertice all'infinito risulta essere una striscia delimitata da un segmento e da due semirette che si estendono illimitatamente nella stessa direzione, ciascuna delle quali ha come estremità una di quelle del segmento; in particolare le rette possono essere ortogonali al segmento.

Ad ogni triangolo sono associati vari punti, ciascuno dei quali svolge un ruolo che, per qualche aspetto, lo qualifica come centrale per il triangolo stesso. Definiamo concisamente questi punti riferendoci ad un triangolo mwiw T {\displaystyle T} i cui vertici denotiamo con mwja A {\displaystyle A} , mwjq B {\displaystyle B} e mwjg C {\displaystyle C} e i cui lati opposti denotiamo rispettivamente con mwjw a {\displaystyle a} , mwka b {\displaystyle b} e mwkq c {\displaystyle c} .

• mwlaOrtocentro di mwlq T {\displaystyle T} è l'intersezione delle sue mwlgaltezze.

• mwmaBaricentro o mwmqcentroide di mwmg T {\displaystyle T} è l'intersezione delle sue mwmwmediane.

• mwnqIncentro di mwng T {\displaystyle T} è l'intersezione delle sue tre mwnwbisettrici, ovvero il centro dell'mwoaincerchio di mwoq T {\displaystyle T} .

• mwowCircocentro di mwpa T {\displaystyle T} è l'intersezione dei suoi tre assi, ovvero il centro della sua circonferenza circoscritta (vedi mwpqcircumcerchio).

• mwpwExcentro di mwqa T {\displaystyle T} opposto a un suo vertice mwqq A {\displaystyle A} è l'intersezione della sua bisettrice in mwqg A {\displaystyle A} e delle due bisettrici esterne relative ai due vertici rimanenti mwqw B {\displaystyle B} e mwra C {\displaystyle C} .

• Punto di Bevan di mwrw T {\displaystyle T} è il circocentro del triangolo excentrale di mwsq T {\displaystyle T} .

• Punto di Apollonio di mwta T {\displaystyle T} è l'intersezione dei tre segmenti che rispettivamente uniscono un vertice mwtq A {\displaystyle A} di mwtg T {\displaystyle T} con il punto nel quale l'excerchio di mwtw T {\displaystyle T} opposto ad mwua A {\displaystyle A} è tangente al cerchio tangente ai tre excerchi di mwuq T {\displaystyle T} .

• mwuwPunto di Gergonne di mwva T {\displaystyle T} è l'intersezione dei tre segmenti che rispettivamente uniscono un vertice mwvq A {\displaystyle A} di mwvg T {\displaystyle T} con il punto nel quale il lato di mwvw T {\displaystyle T} opposto ad mwwa A {\displaystyle A} è tangente dell'mwwqincerchio di mwwg T {\displaystyle T} .

• mwxaPunto di Nagel di mwxq T {\displaystyle T} è l'intersezione dei tre segmenti ciascuno dei quali unisce un vertice di mwxg T {\displaystyle T} con il punto nel quale il suo lato opposto è tangente del corrispondente mwxwexcerchio.

• mwyqPunto di Fermat di mwyg T {\displaystyle T} è l'intersezione dei tre segmenti ciascuno dei quali unisce un vertice mwyw A {\displaystyle A} di mwza T {\displaystyle T} con il vertice non appartenente a mwzq T {\displaystyle T} del triangolo equilatero uno dei cui lati è il lato mwzg a {\displaystyle a} opposto ad mwzw A {\displaystyle A} ed esterno a mw0a T {\displaystyle T} .

• mw0gPunto di Napoleone di mw0w T {\displaystyle T} è l'intersezione dei tre segmenti che collegano ognuno un suo vertice mw1a A {\displaystyle A} con il centro del triangolo equilatero costruito, esternamente a mw1q T {\displaystyle T} , sul lato mw1g a {\displaystyle a} opposto ad mw1w A {\displaystyle A} .

• mw2qCentro dei nove punti di mw2g T {\displaystyle T} è il centro del cosiddetto mw2wcerchio dei nove punti (o mw3acerchio di Feuerbach) di mw3q T {\displaystyle T} ; questi nove punti comprendono i tre punti medi dei lati di mw3g T {\displaystyle T} , i tre piedi delle mw3waltezze di mw4a T {\displaystyle T} , i punti medi dei tre segmenti ciascuno dei quali unisce un vertice di mw4q T {\displaystyle T} con l'mw4gortocentro di mw4w T {\displaystyle T} .

• mw5qPunto pedale di mw5g T {\displaystyle T} è l'intersezione di ciascuna delle tre rette perpendicolari ai lati di mw5w T {\displaystyle T} .

• mw6qPunto ceviano di mw6g T {\displaystyle T} è l'intersezione di tre mw6wrette ceviane.

L'mw7garea mw7w A {\displaystyle {\mathcal {A}}} del triangolo può essere misurata con la formula matematica:

mw8g A = b h 2 , {\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {bh}{2}},}

dove mw9a b {\displaystyle b} è la base e mw9q h {\displaystyle h} l'altezza ad essa relativa, perché il triangolo va visto come la metà di un parallelogramma di base mw9g b {\displaystyle b} e altezza mw9w h {\displaystyle h} .

Alternativamente l'area del triangolo può essere calcolata con

mw-w A = p ( p − − a ) ( p − − b ) ( p − − c ) , {\displaystyle {\mathcal {A}}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}

dove mw-q a {\displaystyle a} , mw-g b {\displaystyle b} e mw-w c {\displaystyle c} sono i lati e mwaqa p {\displaystyle p} il mwaqesemiperimetro (mwaqiformula di Erone).

L'area di un triangolo può essere trovata per via mwaqotrigonometrica. Usando le lettere della figura a destra, l'altezza è mwaqs h = a sin ⁡ ⁡ γ γ {\displaystyle h=a\sin \gamma } e sostituendo questo nella formula trovata precedentemente (per via geometrica) si ottiene:

mwaq4 A = 1 2 a b sin ⁡ ⁡ γ γ . {\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma .}

L'area di un triangolo è quindi anche uguale al semiprodotto di due lati per il mwaraseno dell'angolo compreso.

Di conseguenza, per la nota identità mwari sin ⁡ ⁡ x = sin ⁡ ⁡ ( π π − − x ) {\displaystyle \sin x=\sin(\pi -x)} , l'area di un triangolo qualsiasi con i due lati mwarm a {\displaystyle a} e mwarq b {\displaystyle b} e l'angolo compreso mwaru γ γ {\displaystyle \gamma } , è uguale all'area del triangolo con gli stessi lati mwary a {\displaystyle a} e mwarc b {\displaystyle b} ma con angolo compreso supplementare mwarg ( π π − − γ γ ) {\displaystyle (\pi -\gamma )}

L'area di un mwaroparallelogramma con due lati adiacenti mwars a {\displaystyle a} e mwarw b {\displaystyle b} e angolo compreso mwar0 γ γ {\displaystyle \gamma } è il doppio di quella del triangolo che ha gli stessi dati, cioè mwar4 a b sin ⁡ ⁡ γ γ {\displaystyle ab\sin \gamma } .

Per risolvere il triangolo, cioè determinare la misura di tutti i lati e angoli, dati due lati e l'angolo compreso fra di essi, o un lato e i due angoli adiacenti, si usano il mwasateorema dei seni e il mwaseteorema del coseno, quest'ultimo meglio noto col nome di Carnot.

Consideriamo un triangolo mwasq A B C {\displaystyle ABC} nel mwasupiano cartesiano individuato attraverso le coppie di mwasycoordinate dei vertici mwasc ( x A , y A ) , ( x B , y B ) , ( x C , y C ) {\displaystyle (x_{A},y_{A}),(x_{B},y_{B}),(x_{C},y_{C})} .

La sua area mwask A {\displaystyle {\mathcal {A}}} è data dall'espressione

mwasw A = 1 2 | det ( x A x B x C y A y B y C 1 1 1 ) | = 1 2 | x A ( y B − − y C ) − − x B ( y A − − y C ) + x C ( y A − − y B ) | , {\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}{\big |}x_{A}(y_{B}-y_{C})-x_{B}(y_{A}-y_{C})+x_{C}(y_{A}-y_{B}){\big |},}

oppure con un'espressione che non utilizza il concetto di matrice

mwata A = | ( y B − − y A ) ( x C − − x B ) + ( y B − − y C ) ( x B − − x A ) | 2 , {\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {{\big |}(y_{B}-y_{A})(x_{C}-x_{B})+(y_{B}-y_{C})(x_{B}-x_{A}){\big |}}{2}},}

e il suo perimetro mwati P {\displaystyle {\mathcal {P}}} è dato da

mwatu P = ( x A − − x B ) 2 + ( y A − − y B ) 2 + ( x A − − x C ) 2 + ( y A − − y C ) 2 + ( x B − − x C ) 2 + ( y B − − y C ) 2 . {\displaystyle {\mathcal {P}}={\sqrt {(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}}+{\sqrt {(x_{A}-x_{C})^{2}+(y_{A}-y_{C})^{2}}}+{\sqrt {(x_{B}-x_{C})^{2}+(y_{B}-y_{C})^{2}}}.}

Il concetto di triangolo si estende ed è ampiamente usato in tutte le mwatggeometrie non euclidee. Un triangolo in una geometria non euclidea si differenzia generalmente per il fatto che la somma dei suoi angoli interni non è 180°: questa somma è inferiore a 180° per ogni triangolo nel caso di una mwatkgeometria iperbolica, mentre è superiore per ogni triangolo nel caso di una mwatogeometria ellittica.

Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due lati e l'angolo tra essi compreso, essi sono congruenti.

Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due angoli e il lato ad essi adiacente, essi sono congruenti.

Se due triangoli hanno rispettivamente congruente i tre lati, essi sono congruenti. Criterio generale di congruenza dei triangoli Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti un lato e due angoli qualsiasi, essi sono congruenti.

In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti ad esso.

In un triangolo l'angolo esterno di uno di essi è uguale alla somma degli altri due angoli interni.

Corollario 1: un triangolo non può avere né due angoli retti, né due angoli ottusi, né un angolo retto e uno ottuso, cioè un triangolo ha almeno due angoli acuti.

Corollario 2: gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono acuti.

In un triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza.

Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente congruenti, allora sono simili.

Se due triangoli hanno rispettivamente due lati proporzionali e l'angolo tra essi compreso congruente, allora sono simili.

Se due triangoli hanno i tre lati rispettivamente proporzionali, allora sono simili.

In un triangolo rettangolo ogni cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la sua proiezione sull'ipotenusa.

In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

cite-note-11. ↑ mwaxiAl libro mwaxmTopologia di Marco Manetti (2014) viene fatta risalire la tradizione di definire scaleno un triangolo di cui non venga specificata la relazione tra i lati. Questo è diverso dal chiedere che i lati siano tutti diversi. Nella nuova terminologia infatti un triangolo isoscele verrà considerato scaleno.Tale definizione viene ritenuta preferibile a quella tradizionale da molti autori contemporanei.

• mwax4mwax8Encyclopedia of Triangle Centers

• mwayeTriangolo di Reuleaux

• mwaymTeorema di Pitagora

• mwayuTrigonometria

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• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su triangolo

• citereftreccani-ittriangolo, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

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